La programación lineal es una técnica matemática relativamente reciente (siglo XX), que consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten resolver problemas de optimización en el ámbito, sobre todo, de las ciencias sociales.
¿QUÉ ES LA PROGRAMACIÓN LINEAL?
La programación lineal (PL) es el campo de la optimización matemática dedicado a maximizar o minimizar (optimizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales. Su empleo es frecuente en aplicaciones de la industria, la economía, la estrategia militar, etc.
El matemático fránces Jean Baptiste-Joseph Fourier
(1768-1830) fue el primero en intuir, aunque de forma imprecisa, los
métodos de lo que actualmente llamamos programación lineal y la
potencialidad que de ellos se deriva.
Como origen de la PL, en 1947, G.B. Dantzig
formula, en términos matemáticos muy precisos, el enunciado estándar al
que cabe reducir todo problema de programación lineal. Se trata de dar
respuesta a situaciones en las que se exige maximizar o minimizar funciones (beneficios, costes, etc) que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones (nº de operarios, maquinaria, kg mercancía, etc) .
La programación lineal (PL) es el campo de la optimización matemática dedicado a maximizar o minimizar (optimizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales. Su empleo es frecuente en aplicaciones de la industria, la economía, la estrategia militar, etc.
Existen tres métodos para resolver un problema de PL con dos variables (x,y):
- Método gráfico, basado en las rectas de nivel
- Método gráfico-analítico, básado en el cálculo de vértices
- Método SIMPLEX (es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso).
ETAPAS O PASOS A SEGUIR
Los pasos a seguir son: 1 Elegir las incógnitas.
2 Escribir la función objetivo en función de los datos del problema.
3 Escribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones.
4 Averiguar el conjunto de soluciones factibles representando gráficamente las restricciones.
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de soluciones factibles (si son pocos).
6 Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices para ver en cuál de ellos presenta el valor máximo o mínimo según nos pida el problema (hay que tener en cuenta aquí la posible no existencia de solución si el recinto no está acotado)
FUNCIÓN OBJETIVO
En esencia la programación lineal consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo, que es una función lineal de varias variables, en casos sencillos dos variables:
f(x,y) = ax + by
RESTRICCIONES
La función objetivo está sujeta a una serie de restricciones, expresadas por inecuaciones lineales:
a1x + b1y ≤ c1
a2x + b2y ≤ c2
anx + bny ≤ cn
Cada desigualdad del sistema de restricciones determina un semiplano.
REGIÓN FACTIBLE
El conjunto intersección, de todos los
semiplanos formados por las restricciones, determina un recinto limitado
o ilimitado, llamado región factible, acotado o no, que recibe el nombre de región de validez o zona de soluciones factibles.
SOLUCIÓN OPTIMA
El conjunto de los vértices del recinto se denomina conjunto de soluciones factibles básicas y el vértice donde se presenta la solución óptima se llama solución máxima (o mínima según el caso). Pulsa en este enlace para visualizar un ejemplo totalmente comentado que te ayudará a comprender este método.
VALOR DEL PROGRAMA LINEAL
El valor que toma la función objetivo en el vértice de solución óptima se llama valor del programa lineal.
CASOS DE EJERCICIOS QUE SE PUEDEN PRESENTAR
Los problemas de Programación Lineal con dos variables se pueden clasificar, atendiendo al tipo de solución que presentan, en:
CASOS DE EJERCICIOS QUE SE PUEDEN PRESENTAR
- Factibles (con solución, por tanto, cuando existen uno más valores que satisfacen las restricciones)
- No factibles (sin solución, por tanto, cuando las restricciones son inconsistentes)
A su vez los casos factibles pueden ser de:
- Solución única
- Solución múltiple
- Solución no acotada (algunos casos en los que la región factible sea ilimitada)
+ INFO (MÉTODO DE PROGRAMACIÓN LINEAL)- Resumen de la teoría de los Programación Lineal
- Teoría de programación lineal I , II (resueltos) y Esquema
- La mejor web sobre programación lineal (teoría, ejercicios resueltos y propuestos)
- Apuntes de P.L. Web IES Aricel y ejercicios resueltos y propuestas. (sol)
- Apuntes Marea Verde - Programación Lineal
+ INFO (MÉTODO DE PROGRAMACIÓN LINEAL)- Coleccion de ejercicios de P.L. Web matematicasonline I , II (nivel medio-bajo) y III (m.-alto)
- Apuntes de programación lineal Web Calculo
- Web vadenumeros, con explicación detallada sobre programación lineal
- Web vitutor, repaso teoría básica (P.L)
- Web tuprofedematesonline con teoria y videos explicativos (P.L.)
- Soluciones ejercicios libro Anaya.
- Desmos una Calculadora Gráfica online
- Aplicación Geogrebra para resolver problemas de PROG.LINEAL.
- Calculadora on-line PL para dibujar región factible y obtener el óptimo (máximo 3 restricciones)
- Ejemplo de PL realizado con una hoja dinámica en Geogebra
+ INFO (RECURSOS de SISTEMAS DE ECUACIONES)