IES MEDITERRÁNEO MATEMÁTICAS 18/19: TEMA 7A

El Cálculo Integral, es una de las más importantes y complejas partes del Análisis Matemático su origen se encuentra en el estudio del área de figuras planas. Las fórmulas para el cálculo de las áreas de triángulos y rectángulos ya se conocían en la Grecia Clásica, así como la de los polígonos regulares.
El problema se plantea a la hora de calcular áreas de figuras limitadas por líneas curvas.

Euclides (300 a.C.) sigue los trabajos de Eudoxio (400-355 a.C.) para calcular el área del círculo por el método de exhaución, es decir, inscribiendo en él sucesivamente polígonos con más lados.

La suma de estas áreas se aproximaba cada vez más al área del círculo, estando en el “límite” el valor exacto Arquímedes (287- 212 a.C.) halló también el área encerrada por un arco de parábola y la cuerda correspondiente, cosa realmente difícil en aquel tiempo, ya que no se disponía del álgebra formalizada ni de la geometría analítica.

El método utilizado era el de agotamiento, esto es, se encaja el área entre dos polígonos, uno inscrito en la región y otro circunscrito a la región. Desde los griegos hasta el siglo XVII poco se hizo con relación al cálculo de áreas y volúmenes de figuras limitadas por líneas o superficies cerradas.

Pascal, Fermat y Leibniz comienzan un estudio engarzado con el cálculo diferencial; así pues, aunque históricamente se estudian los primeros elementos del cálculo integral antes que el diferencial, en el siglo XVII se estudian y configuran a la par, relacionándose por medio de muchos e importantes resultados.

FUNCIÓN PRIMITIVA

Llamamos integración al proceso inverso de la derivación, es decir, dada una función debemos buscar otra cuya derivada sea la función dada. Diremos que F(x) es una primitiva de f(x) si y sólo si F’(x)=f(x). Una función tiene infinitas primitivas, todas ellas se diferencian en una constante.

Definiremos la integral indefinida de una función, como el conjunto de todas sus funciones primitivas:

El término dx es el diferencial de x y significa que integramos respecto a la variable x

PROPIEDADES

Realmente son pocas las integrales que se pueden abordar con un único método. Por el contrario, es muy normal que debamos combinar varios de los métodos que veremos a continuación para integrar una función. Todos los métodos ( por partes, por sustitución, por descomposición de fracciones racionales) que abordaremos tienen como objetivo final transformar la integral inicial en otras hasta llegar finalmente a integrales inmediatas.

Por ello, el primer método de integración y base de todos los demás de los que veremos a continuación, es el de integración inmediata, esto es utilizar “al revés” la tabla de derivadas de las funciones elementales vistas anteriormente y que resumimos a continuación (del 7 en adelante no son necesarios saberlos para murcia):

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

Hay distintos métodos de integración, según el tipo de función que queramos integrar, para el examen nuestro al final no se necesita saber ninguno, pero ya que los tengo los dejo para un futuro:

1. Método de integración por partes
Este método se utiliza para calcular la integral de un producto de funciones. (videos)

2. Método de sustitución
Este método consiste en sustituir la función o parte de ella por una nueva variable para que la integral resulte más sencilla. (videos)

3. Integración de funciones racionales

Hay dos tipos según el grado de los polinomios:
a) Grado P(x) < Grado Q(x)
En este caso, debemos factorizar en polinomio Q(x) y descomponerlo en fracciones simples:
Por ejemplo si Q(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)
Entonces: