martes, 11 de diciembre de 2018

TEMA 6C - ECUACION DE LA RECTA

-Interpretación geométrica de la derivada:
Como ya hemos visto anteriormente la definición de derivada, y a partir de la siguiente imagen:
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Podemos interpretar la derivada como la pendiente de la ecuación de la recta tangente de f(x) en el punto P(a,f(a)), que viene dada por la siguiente expresión: y-f(a)=f ‘(a) (x-a). Aunque siempre podemos utilizar la expresión conocida para cualquier recta y=mx+n, donde m=f ‘ (a).

-Tipo 1: Hallar la ecuación de la recta tangente en un punto.
A partir de la función f(x) y dado un punto a en el que tenemos que calcular la recta tangente. Simplemente tenemos que calcular los datos que necesitamos para sustituir en la fórmula.
1º) Calcula cuanto vale la función en el punto a, es decir f(a)
2º) Calcular la pendiente. Para ello calcularemos la derivada y sustituiremos el valor de x por el punto, es decir m=f ‘(a).
3º) Sustituir en la fórmula de la ecuación de la recta tangente.
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Ejemplo: Calcula la ec. de la recta tangente a la función f(x)=1/(x-1) en el punto x=2.
1º) Hallamos f(2)=1/(2-1)=1.
2º) Calculamos la derivada, y a continuación sustituimos por 2.
3º) Sustituimos en la fórmula: y-f(a)=f ‘(a) (x-a) : y-1= -1(x-2)
También puedes ver en youtube un par de ejemplos 1 y 2

-Tipo 2: Hallar la ecuación de la recta normal.
La recta normal es la recta perpendicular a la recta tangente, por tanto será de la forma:
y-f(a)=- 1/f ‘(a) (x-a). Como podemos observar la pendiente en este caso es m’=-1/m, ya que las rectas son perpendiculares. Por tanto seguiremos los siguientes pasos:

1º) Hallamos la nueva pendiente: m’=-1/m
2º) Hallamos el valor de y=f(a).
3º) Sustituimos en la fórmula.

Ejemplo: A partir del ejemplo anterior hallar la ec. de la recta normal en el pto x=2.
1º) Como la pendiente de la recta tangente era m=-1, la pendiente de la recta normal es: m’=-1/-1=1.
2º) Utilizamos el valor calculado de f(2)=1.
3º) Sustituyendo en la fórmula: Sustituyendo en la ecuación de la recta normal: y-f(a)=-1/f ‘(a)(x-a) obtenemos: y-1=1(x-2).
-Tipo 3: Hallar el punto en el que la recta tangente es paralela a una recta dada.
En este último caso, partimos de la función f(x) de la que nos piden hallar la recta tangente, y una recta paralela a la recta tangente. Para poder hacer este ejercicio, recordemos que dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente. Por tanto, para este tipo de ejercicios seguiremos los siguientes pasos:

1º) Hallamos la pendiente de la recta que nos dicen que es paralela.
2º) Calculamos la derivada de la función y la igualamos a la pendiente anterior: f ‘(x)=m.
3º) Resolviendo la ec. anterior obtenemos el pto a donde hay que calcular la ec. de la recta tangente.
4º) Hallamos f(a).
5º) Sustituimos en la fórmula de la recta tangente.

Ejemplo: Halla la ecuación de la recta tangente a la función f(x) tal que sea paralela a la recta 2x-y+3=0.
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1º) Hallamos la pendiente de la recta, para ello despejamos en primer lugar la y: y=2x+3, luego la pendiente será m=2.
2º) Derivamos e igualamos a la pendiente: f ‘(x)=6x-4=2
3º) Resolvemos la ecuación:
6x-4=2 —> 6x=6 —>x=1=a
4º) Calculamos f(a)=f(1)=3 -4+3= 2.
5º) Sustituimos en la fórmula: y-f(a)=f ‘(a)(x-a) —–> y-2=2(x-1)
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TEMA 6B - APLICACIONES DE LA DERIVADAS

Utilizando el concepto de derivada vamos a estudiar algunas propiedades de carácter local de las funciones. El estudio de estas características nos facilitará la representación gráfica de las mismas. Se trata de obtener información de las funciones a partir de su derivada. Te recomendamos este resumen teórico muy claro y bien estructurado para ayudarte a conseguirlo.
OBJETIVOS
  • Calcular intervalos de crecimiento y decrecimiento
  • Calcular los extremos relativos de una función.
  • Aplicar la teoría de extremos relativos a problemas de optimización.
  • Calcular los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de una función.
Si deseas profundizar en más ejercicios de cierto nivel a cerca de las aplicaciones de la derivada te proponemos dirigirte aquí.

Por otra parte, no debemos dejar a un lado los problemas de optimización de funciones que tantos dolores de cabeza pueden darnos en clase.

Estos problemas, basicamente aplicados en el área de la Física, de los materiales, de la Biología, de la economia, etc. Los casos más frecuentes son aplicaciones geométricas: por ejemplo, tratar de hallar las dimensiones de un terreno u objeto de una determinada forma (cuadrado, rectangular, circunferencia, ..) para que el gasto de material empleado para construir el objeto sea mínimo o para que el área del objeto/terreno.. sea el máximo. 

Si te gustan los audiovisuales puedes encontrar unos buenos videos sobre aplicaciones de la derivada ejemplos aquí del Instituto Alfonso X de Murcia y de máximos y mínimos.

No lo olvides, los métodos matemáticos resultan efectivos en el estudio de problemas en Física, Química, Biología, Medicina, Ciencias Sociales, Administración, Ingeniería, Economía, Finanzas y Ecología entre otras.
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TEMA 6A - DERIVADAS

Deriving
¿Quieres dominar una de las operaciones clave de las Matemáticas?, pues ¡¡¡ ADELANTE !!!
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  • Web del Instituto ARICEL (muy interesante)
  • Apuntes y esquema en formato de papel muy bien resumidos sobre derivadas.
  • Cómo calcular la derivada en un punto (ejercicios de aplicación de la definición) aquí
  • Presentación (PDF) sobre la derivada aquí
  • Interpretaciones geométrica y física de la derivada aquí
  • Reglas de derivación (PDF) con derivadas inmediatas aquí
  • Iniciación (PDF) al cálculo de derivadas sencillas aquí
  • Derivadas propuestas (HTML) (nivel medio) aquí
  • Ejemplos de derivadas (PDF) de funciones clasificadas por grupos aquí
  • Ejercicios resueltos (PDF) de aplicación de la derivada aquí
  • Videos explicativos (YOUTUBE) sobre la derivada aquí
  • Una derivada curiosa aquí 
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CALCULADORA DERIVADAS

Supongamos que deseamos derivar la siguiente función (polinomio):
Los pasos a seguir, son:
1. Usar el widget Wolfram Alpha que ves abajo.
2. Elegimos el tipo de derivada que nos interesa calcular (la primera derivada, la segunda derivada, etc).
3. Ingresamos en la caja la función, usando la sintáxis informatica (por ejemplo x^4-x^2 ), y le damos enter.
4. Wolfram Alpha retornará una ventana de respuesta.
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TEMA 5 - FUNCIONES

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En el planteamiento de problemas típicos es frecuente manejar funciones matemáticas que describen los fenómenos y que conviene optimizar. Para ello se procede comúnmente al estudio (ver tabla resumen) de los puntos singulares de la función y al análisis de sus tendencias dentro de un marco concreto de valores.
  • Lo primero que suele hacerse es determinar su dominio de definición, esto es, el conjunto de valores de la variable para los cuales la función toma valor real.
  • Seguidamente se procede a estudiar la posible existencia de simetrías y periodicidades en la función, y se determinan los puntos de corte de la misma con los ejes, así como las asíntotas.
  • Otro aspecto importante en el estudio de una función consiste en analizar sus tendencias de crecimiento o decrecimiento y extremos relativos. Y por último se estudiará la curvatura (concavidad-convexidad) de la función y sus puntos de inflexión.
  • Una vez realizado este estudio preliminar, pasaremos a realizar una tabla resumen de puntos de la función y finalmente la gráfica de la misma.
Te presentamos ejemplos de un estudio completo de una función.  Los casos más frecuentes y sencillos son los que tratan sobre funciones polinómicas y racionales. No obstante, en los enlaces de abajo puedes analizar otro tipo de funciones: irracionales, logarítmicas, exponenciales, trigonométricas, etc.

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  • Estudio y representación gráfica de todo tipo de funciones
1.   Representación gráfica de funciones
2.   Representación de funciones polinómicas
3.   Representación de funciones racionales
4.   Representación de funciones exponenciales

  • Ejercicios y problemas
1.   Representación de funciones polinómicas
2.   Representación de funciones racionales I
3.   Representación de funciones racionales II
4.   Representación de funciones irracionales
5.   Representación de funciones exponenciales
6.   Representación de funciones a trozos
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martes, 27 de noviembre de 2018

TEMA 4 - LIMITES Y CONTINUIDAD

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El padre de los límites, Jean le Rond D’Alembert (1717-1783), crea la teoría de los límites al modificar el método de las primeras y últimas razones de Newton. En el tomo IX de la Encyclopédie , D ́Alembert escribe la siguiente definición de límite:
“Se dice que una cantidad es límite de otra cantidad, cuando la segunda puede aproximarse a la primera más que cualquier cantidad dada por pequeña que se la pueda suponer, sin que, no obstante la cantidad que se aproxima pueda jamás sobrepasar a la cantidad a la que se aproxima; de manera que la diferencia entre una tal cantidad y su límite sea absolutamente inasignable”.
La noción de límite es ya una noción matemática que sirve como soporte a otras como la continuidad, la derivada y la integral, hecho que ha contribuido a un uso universalizado de la misma.
infinito

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lunes, 29 de octubre de 2018

TEMA 3 - PROGRAMACION LINEAL

La programación lineal es una técnica matemática relativamente reciente (siglo XX), que consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten resolver problemas de optimización en el ámbito, sobre todo, de las ciencias sociales.
El matemático fránces Jean Baptiste-Joseph Fourier (1768-1830) fue el primero en intuir, aunque de forma imprecisa, los métodos de lo que actualmente llamamos programación lineal y la potencialidad que de ellos se deriva.

Como origen de la PL, en 1947, G.B. Dantzig formula, en términos matemáticos muy precisos, el enunciado estándar al que cabe reducir todo problema de programación lineal. Se trata de dar respuesta a situaciones en las que se exige maximizar o minimizar funciones (beneficios, costes, etc) que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones (nº de operarios, maquinaria, kg mercancía, etc) .

¿QUÉ ES LA PROGRAMACIÓN LINEAL?

La programación lineal (PL) es el campo de la optimización matemática dedicado a maximizar o minimizar (optimizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales. Su empleo es frecuente en aplicaciones de la industria, la economía, la estrategia militar, etc.

Existen tres métodos para resolver un problema de PL con dos variables (x,y):
Nosotros optaremos por explicar el segundo método, pues resulta más intuitivo y sencillo. En aquellos problemas simples de programación lineal, los que tienen solamente 2 variables, problemas bidimensionales.

ETAPAS O PASOS A SEGUIR
Los pasos a seguir son: 1  Elegir las incógnitas.
2  Escribir la función objetivo en función de los datos del problema.
3  Escribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones.
4  Averiguar el conjunto de soluciones factibles representando gráficamente las restricciones.
5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de soluciones factibles (si son pocos).
6  Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices para ver en cuál de ellos presenta el valor máximo o mínimo según nos pida el problema (hay que tener en cuenta aquí la posible no existencia de solución si el recinto no está acotado)

FUNCIÓN OBJETIVO
En esencia la programación lineal consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo, que es una función lineal de varias variables, en casos sencillos dos variables:
f(x,y) = ax + by

RESTRICCIONES
La función objetivo está sujeta a una serie de restricciones, expresadas por inecuaciones lineales:
a1x + b1y ≤ c1
a2x + b2y ≤ c2
anx + bny ≤ cn
Cada desigualdad del sistema de restricciones determina un semiplano.

REGIÓN FACTIBLE
El conjunto intersección, de todos los semiplanos formados por las restricciones, determina un recinto limitado o ilimitado,  llamado región factible, acotado o no, que recibe el nombre de región de validez o zona de soluciones factibles.

SOLUCIÓN OPTIMA
El conjunto de los vértices del recinto se denomina conjunto de soluciones factibles básicas y el vértice donde se presenta la solución óptima se llama solución máxima (o mínima según el caso). Pulsa en este enlace para visualizar un ejemplo totalmente comentado que te ayudará a comprender este método.

VALOR DEL PROGRAMA LINEAL
El valor que toma la función objetivo en el vértice de solución óptima se llama valor del programa lineal.

CASOS DE EJERCICIOS QUE SE PUEDEN PRESENTAR
Los problemas de Programación Lineal con dos variables se pueden clasificar, atendiendo al tipo de solución que presentan, en:


  • Factibles (con solución, por tanto, cuando existen uno más valores que satisfacen las restricciones)
  • No factibles (sin solución, por tanto, cuando las restricciones son inconsistentes)
A su vez los casos factibles pueden ser de:
  • Solución única
  • Solución múltiple
  • Solución no acotada (algunos casos en los que la región factible sea ilimitada)
 + INFO (MÉTODO DE PROGRAMACIÓN LINEAL)

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