martes, 11 de diciembre de 2018

TEMA 9 - INFERENCIA ESTADISTICA

La Estadística descriptiva y la teoría de la Probabilidad van a ser los pilares de un nuevo procedimiento (Estadística Inferencial) con los que se va a estudiar el comportamiento global de un fenómeno. La probabilidad y los modelos de distribución junto con las técnicas descriptivas, constituyen la base de una nueva forma de interpretar la información suministrada por una parcela de la realidad que interesa investigar.  

El impacto inicial para el planteamiento de las matemáticas de la teoría de la probabilidad provino de la investigación de los juegos de azar durante el renacimiento. se puede localizar los fundamentos de probabilidad hacia la mitad del siglo XVII, en la correspondencia intercambiada por el matemático Pascal y el jugador Chevalier de Mere estos desarrollo y otro elaborados por por matemáticos bernoulli, demoiure y Gauss los percusores de la materia de la inferencia estadística. sin embargo no ha sido hasta principio en este siglo que estadística como pearson, fisher, gosset,neyman, wald y tukey iniciaron el desarrollo de los métodos inferencial de la estadística, los cuales tienen muy amplia aplicación en diversas de campo en la actualidad 
La estadística Inferencial es una parte de la estadística que comprende los métodos y procedimientos que por medio de la inducción determina propiedades de una población estadística, a partir de una pequeña parte de la misma. La estadística inferencial comprende como aspectos importantes:
  • La toma de muestras o muestreo, que se refiriere a la forma adecuada de considerar una muestra que permita obtener conclusiones estadísticamente válidas y significativas.
  • La estimación de parámetros o variables estadísticas, que permite estimar valores poblacionales a partir de muestras de mucho menor tamaño.
  • El contraste de hipótesis, que permite decidir si dos muestras son estadísticamente diferentes, si un determinado procedimiento tiene un efecto estadístico signifivativo, etc.


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TEMA 8 - PROBABILIDAD

El termino probabilidad esta ligado con el azar, por lo que desde la antiguedad los hombres estan en contacto con ella, se utiliza por primera vez el en el siglo XVII cuando Pierre Fermat y Blaise Pascal tratan de resolver algunos problemas relacionados con los juegos de azar. Aunque algunos marcan sus inicios cuando Cardano escribió en 1520, El Libro de los Juegos de Azar (aunque no fué publicado hasta más de un siglo después, en el año de 1660) no es hasta dicha fecha que comienza a elaborarse una teoría aceptable sobre los juegos.

Christian Huygens conoció la correspondencia entre Blaise Pascal y Pierre Fermat suscitada por el caballero De Méré, se planteó el debate de determinar la probabilidad de ganar una partida, y publicó (en 1657) el primer libro sobre probabilidad: De Ratiociniis in Ludo Aleae, (Calculating in Games of Chance), un tratado sobre juegos de azar. Se aceptaba como intuitivo el concepto de equiprobabilidad, se admitía que la probabilidad de conseguir un acontecimiento fuese igual al cociente entre las opciones.

En esta unidad recordaremos en qué consisten las experiencias aleatorias, los sucesos y las operaciones entre éstos para, finalmente, estudiar la probabilidad y sus propiedades.

OBJETIVOS
  • Distinguir entre fenómenos aleatorios y no aleatorios
  • Distinguir las operaciones entre sucesos y conocer las propiedades y consecuencias que se derivan
  • Comprender el concepto de probabilidad introducido de forma axiomática y sus consecuencias
  • Distinguir entre probabilidad condicionada y no condicionada
  • Reconocer sucesos compuestos, dependientes e independiente, asignándoles probabilidades
  • Utilizar los diagramas de árbol y de sucesos para adquirir el concepto de probabilidad total
  • Obtener probabilidades «a posteriori» aplicando el teorema de Bayes
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TEMA 7B - INTEGRAL DEFINIDA


El matemático inglés Isaac Barrow (1630-1677) fue el precursor del cálculo de integrales definidas, enunciando la regla que lleva su nombre y que conecta la integral definida con la indefinida, y por tanto, con las derivadas. Por último, la gran aportación de Newton y Leibnitz, por la cual se consagran como los padres del Cálculo infinitesimal, fue relacionar el cálculo del área encerrada entre una cierta curva y el eje OX con el problema de la tangente.

La idea de sumar infinitos trozos de áreas de figuras sencillas (normalmente rectángulos) para “rellenar” figuras de lados curvos, ha sido la clave durante los siglos para resolver el problema. Esta idea es el fundamento de la Integral Definida, cuyo desarrollo formal y riguroso se debe, sobre todo al trabajo de Riemann.

1. Integral definida
Sea una función f(x) y el intervalo [a,b], se define la integral definida como el área limitada por la gráfica de f(x), el eje X y las rectas x=a y x=b.

Se representa como:


5. Regla de Barrow Si f es una función continua en [a, b] y G(x) es una primitiva de f entonces:

Esta regla permite relacionar las integrales definidas con las indefinidas, podemos calcularlas usando primitivas.
6. Área de funciones
6.1. Área entre una función y el eje X
El área viene dada por la integral:

 

Siendo a y b los puntos de corte de la función con el eje X
6.2. Área entre dos funciones
El área viene dada por la integral:


 Siendo a y b los puntos donde se cortan las dos funciones.

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TEMA 7A - INTEGRAL INDEFINIDA


El Cálculo Integral, es una de las más importantes y complejas partes del Análisis Matemático su origen se encuentra en el estudio del área de figuras planas. Las fórmulas para el cálculo de las áreas de triángulos y rectángulos ya se conocían en la Grecia Clásica, así como la de los polígonos regulares.
El problema se plantea a la hora de calcular áreas de figuras limitadas por líneas curvas.

Euclides (300 a.C.) sigue los trabajos de Eudoxio (400-355 a.C.) para calcular el área del círculo por el método de exhaución, es decir, inscribiendo en él sucesivamente polígonos con más lados.

La suma de estas áreas se aproximaba cada vez más al área del círculo, estando en el “límite” el valor exacto Arquímedes (287- 212 a.C.) halló también el área encerrada por un arco de parábola y la cuerda correspondiente, cosa realmente difícil en aquel tiempo, ya que no se disponía del álgebra formalizada ni de la geometría analítica.

El método utilizado era el de agotamiento, esto es, se encaja el área entre dos polígonos, uno inscrito en la región y otro circunscrito a la región. Desde los griegos hasta el siglo XVII poco se hizo con relación al cálculo de áreas y volúmenes de figuras limitadas por líneas o superficies cerradas.

Pascal, Fermat y Leibniz comienzan un estudio engarzado con el cálculo diferencial; así pues, aunque históricamente se estudian los primeros elementos del cálculo integral antes que el diferencial, en el siglo XVII se estudian y configuran a la par, relacionándose por medio de muchos e importantes resultados.
FUNCIÓN PRIMITIVA

Llamamos integración al proceso inverso de la derivación, es decir, dada una función debemos buscar otra cuya derivada sea la función dada. Diremos que F(x) es una primitiva de f(x) si y sólo si F’(x)=f(x). Una función tiene infinitas primitivas, todas ellas se diferencian en una constante.

Definiremos la integral indefinida de una función, como el conjunto de todas sus funciones primitivas:
El término dx es el diferencial de x y significa que integramos respecto a la variable x

PROPIEDADES

 
Realmente son pocas las integrales que se pueden abordar con un único método. Por el contrario, es muy normal que debamos combinar varios de los métodos que veremos a continuación para integrar una función. Todos los métodos  ( por partes, por sustitución, por descomposición de fracciones racionales) que abordaremos tienen como objetivo final transformar la integral inicial en otras hasta llegar finalmente a integrales inmediatas.

Por ello, el primer método de integración y base de todos los demás de los que veremos a continuación, es el de integración inmediata, esto es utilizar “al revés” la tabla de derivadas de las funciones elementales vistas anteriormente y que resumimos a continuación (del 7 en adelante no son necesarios saberlos para murcia):

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Hay distintos métodos de integración, según el tipo de función que queramos integrar, para el examen nuestro al final no se necesita saber ninguno, pero ya que los tengo los dejo para un futuro:

1. Método de integración por partes
Este método se utiliza para calcular la integral de un producto de funciones. (videos)


2. Método de sustitución
Este método consiste en sustituir la función o parte de ella por una nueva variable para que la integral resulte más sencilla. (videos)

3. Integración de funciones racionales


Hay dos tipos según el grado de los polinomios:
a) Grado P(x) < Grado Q(x)
En este caso, debemos factorizar en polinomio Q(x) y descomponerlo en fracciones simples:
Por ejemplo si Q(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)
Entonces:

b) Grado P(x) ≥ Grado Q(x)
En este caso dividimos P(x) entre Q(x):




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TEMA 6C - ECUACION DE LA RECTA

-Interpretación geométrica de la derivada:
Como ya hemos visto anteriormente la definición de derivada, y a partir de la siguiente imagen:
rt1
Podemos interpretar la derivada como la pendiente de la ecuación de la recta tangente de f(x) en el punto P(a,f(a)), que viene dada por la siguiente expresión: y-f(a)=f ‘(a) (x-a). Aunque siempre podemos utilizar la expresión conocida para cualquier recta y=mx+n, donde m=f ‘ (a).

-Tipo 1: Hallar la ecuación de la recta tangente en un punto.
A partir de la función f(x) y dado un punto a en el que tenemos que calcular la recta tangente. Simplemente tenemos que calcular los datos que necesitamos para sustituir en la fórmula.
1º) Calcula cuanto vale la función en el punto a, es decir f(a)
2º) Calcular la pendiente. Para ello calcularemos la derivada y sustituiremos el valor de x por el punto, es decir m=f ‘(a).
3º) Sustituir en la fórmula de la ecuación de la recta tangente.
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Ejemplo: Calcula la ec. de la recta tangente a la función f(x)=1/(x-1) en el punto x=2.
1º) Hallamos f(2)=1/(2-1)=1.
2º) Calculamos la derivada, y a continuación sustituimos por 2.
3º) Sustituimos en la fórmula: y-f(a)=f ‘(a) (x-a) : y-1= -1(x-2)
También puedes ver en youtube un par de ejemplos 1 y 2

-Tipo 2: Hallar la ecuación de la recta normal.
La recta normal es la recta perpendicular a la recta tangente, por tanto será de la forma:
y-f(a)=- 1/f ‘(a) (x-a). Como podemos observar la pendiente en este caso es m’=-1/m, ya que las rectas son perpendiculares. Por tanto seguiremos los siguientes pasos:

1º) Hallamos la nueva pendiente: m’=-1/m
2º) Hallamos el valor de y=f(a).
3º) Sustituimos en la fórmula.

Ejemplo: A partir del ejemplo anterior hallar la ec. de la recta normal en el pto x=2.
1º) Como la pendiente de la recta tangente era m=-1, la pendiente de la recta normal es: m’=-1/-1=1.
2º) Utilizamos el valor calculado de f(2)=1.
3º) Sustituyendo en la fórmula: Sustituyendo en la ecuación de la recta normal: y-f(a)=-1/f ‘(a)(x-a) obtenemos: y-1=1(x-2).
-Tipo 3: Hallar el punto en el que la recta tangente es paralela a una recta dada.
En este último caso, partimos de la función f(x) de la que nos piden hallar la recta tangente, y una recta paralela a la recta tangente. Para poder hacer este ejercicio, recordemos que dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente. Por tanto, para este tipo de ejercicios seguiremos los siguientes pasos:

1º) Hallamos la pendiente de la recta que nos dicen que es paralela.
2º) Calculamos la derivada de la función y la igualamos a la pendiente anterior: f ‘(x)=m.
3º) Resolviendo la ec. anterior obtenemos el pto a donde hay que calcular la ec. de la recta tangente.
4º) Hallamos f(a).
5º) Sustituimos en la fórmula de la recta tangente.

Ejemplo: Halla la ecuación de la recta tangente a la función f(x) tal que sea paralela a la recta 2x-y+3=0.
rt3
1º) Hallamos la pendiente de la recta, para ello despejamos en primer lugar la y: y=2x+3, luego la pendiente será m=2.
2º) Derivamos e igualamos a la pendiente: f ‘(x)=6x-4=2
3º) Resolvemos la ecuación:
6x-4=2 —> 6x=6 —>x=1=a
4º) Calculamos f(a)=f(1)=3 -4+3= 2.
5º) Sustituimos en la fórmula: y-f(a)=f ‘(a)(x-a) —–> y-2=2(x-1)
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TEMA 6B - APLICACIONES DE LA DERIVADAS

Utilizando el concepto de derivada vamos a estudiar algunas propiedades de carácter local de las funciones. El estudio de estas características nos facilitará la representación gráfica de las mismas. Se trata de obtener información de las funciones a partir de su derivada. Te recomendamos este resumen teórico muy claro y bien estructurado para ayudarte a conseguirlo.
OBJETIVOS
  • Calcular intervalos de crecimiento y decrecimiento
  • Calcular los extremos relativos de una función.
  • Aplicar la teoría de extremos relativos a problemas de optimización.
  • Calcular los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de una función.
Si deseas profundizar en más ejercicios de cierto nivel a cerca de las aplicaciones de la derivada te proponemos dirigirte aquí.

Por otra parte, no debemos dejar a un lado los problemas de optimización de funciones que tantos dolores de cabeza pueden darnos en clase.

Estos problemas, basicamente aplicados en el área de la Física, de los materiales, de la Biología, de la economia, etc. Los casos más frecuentes son aplicaciones geométricas: por ejemplo, tratar de hallar las dimensiones de un terreno u objeto de una determinada forma (cuadrado, rectangular, circunferencia, ..) para que el gasto de material empleado para construir el objeto sea mínimo o para que el área del objeto/terreno.. sea el máximo. 

Si te gustan los audiovisuales puedes encontrar unos buenos videos sobre aplicaciones de la derivada ejemplos aquí del Instituto Alfonso X de Murcia y de máximos y mínimos.

No lo olvides, los métodos matemáticos resultan efectivos en el estudio de problemas en Física, Química, Biología, Medicina, Ciencias Sociales, Administración, Ingeniería, Economía, Finanzas y Ecología entre otras.
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TEMA 6A - DERIVADAS

Deriving
¿Quieres dominar una de las operaciones clave de las Matemáticas?, pues ¡¡¡ ADELANTE !!!
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  • Web del Instituto ARICEL (muy interesante)
  • Apuntes y esquema en formato de papel muy bien resumidos sobre derivadas.
  • Cómo calcular la derivada en un punto (ejercicios de aplicación de la definición) aquí
  • Presentación (PDF) sobre la derivada aquí
  • Interpretaciones geométrica y física de la derivada aquí
  • Reglas de derivación (PDF) con derivadas inmediatas aquí
  • Iniciación (PDF) al cálculo de derivadas sencillas aquí
  • Derivadas propuestas (HTML) (nivel medio) aquí
  • Ejemplos de derivadas (PDF) de funciones clasificadas por grupos aquí
  • Ejercicios resueltos (PDF) de aplicación de la derivada aquí
  • Videos explicativos (YOUTUBE) sobre la derivada aquí
  • Una derivada curiosa aquí 
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CALCULADORA DERIVADAS

Supongamos que deseamos derivar la siguiente función (polinomio):
Los pasos a seguir, son:
1. Usar el widget Wolfram Alpha que ves abajo.
2. Elegimos el tipo de derivada que nos interesa calcular (la primera derivada, la segunda derivada, etc).
3. Ingresamos en la caja la función, usando la sintáxis informatica (por ejemplo x^4-x^2 ), y le damos enter.
4. Wolfram Alpha retornará una ventana de respuesta.
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TEMA 5 - FUNCIONES

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En el planteamiento de problemas típicos es frecuente manejar funciones matemáticas que describen los fenómenos y que conviene optimizar. Para ello se procede comúnmente al estudio (ver tabla resumen) de los puntos singulares de la función y al análisis de sus tendencias dentro de un marco concreto de valores.
  • Lo primero que suele hacerse es determinar su dominio de definición, esto es, el conjunto de valores de la variable para los cuales la función toma valor real.
  • Seguidamente se procede a estudiar la posible existencia de simetrías y periodicidades en la función, y se determinan los puntos de corte de la misma con los ejes, así como las asíntotas.
  • Otro aspecto importante en el estudio de una función consiste en analizar sus tendencias de crecimiento o decrecimiento y extremos relativos. Y por último se estudiará la curvatura (concavidad-convexidad) de la función y sus puntos de inflexión.
  • Una vez realizado este estudio preliminar, pasaremos a realizar una tabla resumen de puntos de la función y finalmente la gráfica de la misma.
Te presentamos ejemplos de un estudio completo de una función.  Los casos más frecuentes y sencillos son los que tratan sobre funciones polinómicas y racionales. No obstante, en los enlaces de abajo puedes analizar otro tipo de funciones: irracionales, logarítmicas, exponenciales, trigonométricas, etc.

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  • Estudio y representación gráfica de todo tipo de funciones
1.   Representación gráfica de funciones
2.   Representación de funciones polinómicas
3.   Representación de funciones racionales
4.   Representación de funciones exponenciales

  • Ejercicios y problemas
1.   Representación de funciones polinómicas
2.   Representación de funciones racionales I
3.   Representación de funciones racionales II
4.   Representación de funciones irracionales
5.   Representación de funciones exponenciales
6.   Representación de funciones a trozos
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